人教版高中数学第03讲 平面向量的数量积 (精讲）（教师版）.docx

第03讲 平面向量的数量积 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
角度2：平面向量数量积的几何意义
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：用定义求数量积
角度2：向量模运算
角度3：向量的夹角
角度4：已知模求数量积
角度5：已知模求参数
高频考点三：平面向量的综合应用
高频考点四：极化恒等式
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量的充要条件：
2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·全国·高一专题练****判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）
（1）两个向量的数量积仍然是向量.( )
（2）若，则或.( )
（3），共线⇔·=||||.( )
（4）若·=·，则一定有=.( )
（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.( )
【答案】     错误     错误     错误     错误     正确
【详解】
对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；
对于（2）：若，除了或之外，还有可能，故错误；
对于（3）：，共线·=||||，故错误；
对于（4）：数量积是一个整体，这里面不能直接约去，故与无固定关系，故错误；
对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.
2．（2021·全国·高二课前预****已知两个向量 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°.( )
【答案】错误
二、单选题
3．（2022·河南安阳·高一阶段练****已知向量，，若，则（       ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】
因为，，，
所以，解得.
故选：C.
4．（2022·全国·模拟预测（文））在边长为2的正三角形中，则（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
解：
故选：A
5．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在中，若，则－定是（       ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
由向量的数量积的运算公式，可得，即，
因为，所以为钝角，所以－定是钝角三角形.
故选：C.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量，满足，，则（  ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
.
故选：C.
例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（  ）
①       ②       ③       ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
由数量积的定义知，
对于①，若，则或，不一定成立，①错误
对于②，成立，②正确