人教版高中数学第03讲 圆的方程 (精讲）（教师版）.docx

第03讲 圆的方程 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：求圆的方程
题型二：与圆有关的轨迹问题
题型三：与圆有关的最值问题
角度1：考查目标函数的几何意义求最值
角度2：利用对称性求最值
角度3：建立函数关系求最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：圆的定义和圆的方程
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：
2、圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
3、圆的一般式方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
知识点二：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）已知圆的方程是，那么经过圆心的一条直线的方程是(       )
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0
【答案】C
把配方得，圆心为，代入各选项，可知直线过圆心.
故选：C.
2．（2022·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．
【答案】
圆，即
所以所求圆的圆心坐标为，半径为
所以圆的方程为．
故答案为：．
3．（2022·重庆市石柱中学校高二阶段练****若点在圆内，则实数的取值范围为____________.
【答案】
解：由题意得
点在圆内
，解得
所以实数的取值范围为
故答案为：
4．（2022·福建宁德·高二期中）已知方程表示圆，则的取值范围是____________.
【答案】
原方程可化为
由得
故答案为：
5．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）经过圆的圆心且斜率为－1的直线方程为______
【答案】
的圆心为，则直线方程为，即.
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：求圆的方程
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川一中高一期末）已知动圆经过点和
(1)当圆面积最小时，求圆的方程；
(2)若圆的圆心在直线上，求圆的方程.
【答案】(1)
(2)
(1)要使圆的面积最小，则为圆的直径，
圆心，半径
所以所求圆的方程为：.
(2)设所求圆的方程为，
根据已知条件得，
所以所求圆的方程为.
例题2．（2022·全国·高二课时练****求通过圆与的交点，并且过点
的圆的方程．
【答案】.
两圆方程联立得：，或，
设经过点，的圆的方程为：，
所以有：，
所以经过这三点的圆的方程为：.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练****若圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴的交点分别为，，求圆C的方程．
【答案】
因为圆C与x轴的交点分别为，，所以圆心在直线上，
又因为圆C的圆心在直线上，所以圆心坐标为
所以半径为
所以圆C的方程为
2．（2022·江苏·高二课时练****已知圆C：关于直线x＋2y－4＝0对称，且圆心在y轴上，求圆C的标准方程．
【答案】.
由题意知：圆心在直线x＋2y－4＝0上，即－－E－4＝0.
又圆心C在y轴上，所以－＝0.
由以上两式得：D＝0, E＝－4，则，
故圆C的标准方程为.
3．（2022·江苏·高二课时练****已知圆C经过点和坐标原点，并且圆心在直线上，求圆C的标准方程．
【答案】．
解法一：设圆C的标准方程为，利用待定系数法，由求解；解法二，由圆心在是的垂直平分线的方程和直线上求得圆心，进而求得半径即可.
【详解】
解法一：（待定系数法）设圆C的标准方程为，
则有解得
∴圆C的标准方程是．
解法二：（几何法）由题意知是圆的弦，其垂直平分线的方程为．
∵