人教版高中数学第3讲 均值不等式及其应用（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第3讲 均值不等式及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.均值不等式
如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立.数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
考点和典型例题
1、利用均值不等式求最值
【典例1-1】（2022·辽宁鞍山·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值是（       ）
A． B． C．5 D．9
【答案】B
【详解】
，当且仅当时等号成立.
故选：B.
【典例1-2】（（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】
因为，
所以 ，当且仅当时等号成立，因为，
所以，即，所以，
即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，
故选：B.
【典例1-3】（（2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（       ）
A．6 B．9 C． D．18
【答案】B
【详解】
解：，，且，
且，
，
当且仅当，即且时取等号，
故的最小值为9；
故选：B
【典例1-4】（（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知，，，则的最小值为__．
【答案】
【详解】
，当且仅当析，时，等号成立.
故答案为：
【典例1-5】（（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．
【答案】##
【详解】
由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：
2、均值不等式的综合应用
【典例2-1】（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（       ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【答案】B
【详解】
令且，则，而，
所以，令，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以，即最小值为23.
故选：B
【典例2-2】（2022·陕西渭南·二模（理））若对x，都有成立，则实数a的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由，得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
，
，
由，得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为；
由题意知，恒成立，所以，
故a的最小值为.
故选：B.
【典例2-3】（2022·河北·高三阶段练****已知实数a，b满足条件，则的最小值为（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【详解】
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，