人教版高中数学第3讲 素养提升之立体几何新情境、新考法专项冲刺 (解析版）.docx

第3讲　素养提升之立体几何新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：聚焦科技前沿
角度3：结合生产实践
角度4：渗透数学文化
角度5：强调五育并举
二、新考法
角度1：以给定定义、热点信息为背景
角度2：考查开放、探究精神
角度3：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度4：相近学科融合
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
1．（多选）（2022·江苏南京·高三阶段练****为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区委党史办等协办组织的以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立周年知识问答活动正在进行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是（    ）
A．经过三个顶点的球的截面圆的面积为
B．异面直线与所成的角的余弦值为
C．连接，构成一个八面体，则该八面体的体积为
D．点到球面上的点的最小距离为
【答案】ACD
【详解】如图1，取的中点分别为，连接
根据题意可得：均垂直于平面，可知
∵的边长为2，设的外接圆半径为r，则
∴，则的外接圆面积为
∴经过三个顶点的球的截面圆的面积为，A正确；
八面体由三个全等的四棱锥和直棱柱组合而成
直棱柱的底面边长为2，高，则其体积为
设，则为的中点
∵平面，平面
∴
又∵为等边三角形且为的中点，则
，平面
∴平面
即四棱锥的高为，则其体积
∴八面体的体积为，C正确；
设的中心分别为，球的球心为，由题意可得其半径
则可知三点共线，连接
则可得：
点到球面上的点的最小距离为，D正确；
如图2，以G为坐标原点建立空间直角坐标系
则有：
∴
又∵
∴异面直线与所成的角的余弦值为，B错误；
故选：ACD.
角度2：聚焦科技前沿
1．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练****长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为
，则该模型的体积最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的高为，则圆柱的高为，底面圆半径为，
则该模型的体积，
令，则，由得，
当时，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
故选：C
2．（2022·江苏·南京市第十三中学高三期中）2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场．歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（    ）立方米
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为米，根据圆锥体积公式得.
故选:B
3．（多选）（2022·山东省青岛第十九中学高二期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体
的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）
A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是
B．勒洛四面体内切球的半径是
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
【答案】CD
【详解】对于A，
故A错误，截面示意图如下：
对于B，由对称性知,勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心,如图：
正外接圆半径,正四面体的高,令正四面体的外接球半径为,
在中,，解得,
此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：
图中取正四面体中心为,连接交平面于点，交于点，其中与共面，其中即为正四面体外接球半径，设勒洛四面体内切球半径为，则由图得，故B错误；
对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对A的分析知，故C正确；
对于D，勒洛四面体能够容纳