人教版高中数学第04讲 空间直线、平面的垂直 (练）（教师版）.docx

第04讲 空间直线、平面的垂直 (精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·山东省莱西市第一中学高一期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（       ）
A．若，，，则
B．若，，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
对于A：若，，, 与可能平行，也可能异面故，故A错误.
对于B：若，，且，，当时，平面 与可能平行，也可能相交，故B错误.
对于C：若，，直线与平面可能平行，可能相交，也可能，故C错误.
对于D：若，，，则，故D正确.
故选：D.
2．（2022·四川·模拟预测（文））已知是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若，则；                       ②若，则；
③若，则；            ④若，则．
其中所有真命题的序号是（       ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
①若，则或，①错误；
②因为，所以，又因为，则由面面垂直的判定可得，②正确；
③因为，所以，因为，则，③正确；
④若，则或异面，④错误.
故选：B
3．（2022·湖南张家界·高一期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且，则直线PD与平面PAC所成角的正弦值等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
如图，在正方形ABCD中，连接BD交AC于O，则，连接PO.因为平面ABCD，平面ABCD，所以，而，则平面PAC，于是是直线PD与平面PAC所成的角.
因为PA=AD=1，易知PA⊥AD，所以，易得，所以，即直线PD与平面PAC所成角的正弦值为.
故选：A.
4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））如图，在直三棱柱中，为上一点，平面分三棱柱为上下体积相等的两部分，则与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
作于点，则平面且，设，则
可证平面，则，
平面分三棱柱为两个体积相等的四棱锥和，
即
取中点为，则即为所求角，
故选：A．
5．（2022·四川·成都七中高二期末（文））如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有（       ）个
①点在平面的射影为的中心
②直线平面
③异面直线与BM所成角为
④三棱锥的外接球表面积的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
如图1：在正方体中，可得，即三棱锥为正四面体，则点在平面的射影为的中心，①正确；
如图2：连接，
∵且，则为平行四边形，∴
可得平面
同理可得平面
可证平面平面，平面，则平面，②正确；
如图3：根据正方体可得，可证平面，则，同理可得
，可证中平面，平面，则，即异面直线与BM所成角为，③正确；
如图4：∵平面，则可知点M到平面的距离即为点到平面的距离，设为，则，即
∴，即点M到平面的距离为，外接圆半径为
设球心O到平面的距离为，则，
则，则三棱锥的外接球表面积为．④错误；
故选：C．
6．（2022·河南新乡·高二期末（文））如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上运动，则下列4个命题中所有正确命题的序号为（       ）
①异面直线与所成角的取值范围是；
②；
③三棱锥的体积为定值；
④ 的最小值为．
A．②④ B．①④ C．②③④ D．①③
【答案】C
因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角）．因为为正三角形，所以，故①错误；
因为平面，所以，故②正确；
因为平面，所以，
故③正确；
如图，将与展开在同一平面内，的最小值为，
由余弦定理得，故④正确．
7．（2022·河北承德·高一期末）在三棱锥中，互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为是线段上一动点，连接．因为互相垂直，
所以是直线与平面所成的角，则．
所以当最短，即时，直线与平面所成角的正切值最大，此时，所以，
在中，，则，解得．
将三棱锥扩充为长方体，则长方体的体对角线长为．
故三棱锥外接球的半径，三棱锥外接球的体积为．
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练****正方体中，点，分别为棱，上的点（不包含端点），设二面角的平面角为，若，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【