人教版高中数学第04讲 拓展一：非线性经验回归方程 (精讲）（教师版）.docx

第04讲 拓展一：非线性经验回归方程 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：指数型
题型二：对数型
题型三：幂函数型
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：非线性经验回归
当经验回归方程并非形如(）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下：
曲线方程
变换公式
变换后的线性关系式
建立非线性经验回归模型的基本步骤
1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；
2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；
3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；
4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；
5.消去新元，得到非线性经验回归方程；
6.得出结果后分析残差图是否有异常 ．
知识点二：非线性经验回归类型
非线性回归方程主要分为三大类，指数型，对数型，幂函数型，做题关键在于变量之间的转换
1、指数型：
①类型一，，处理方式是对方程两边取对数（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），比如e为底数，取ln，则现在方程变为，，将进行换元，，则非线性回归方程变成线性回归直线方程；
②类型二，，此为类型一的变式，多了常数项部分，常见的变化形式为（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），令，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
2、对数型：
①类型一，形如，则令，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
②类型二，，两边同时消掉对数，（取什么底数判断方法同上）取，令，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
3、幂函数型：
①类型一，，，等等，处理方式是将方程中幂函数部分换成一个新变量，比如，，，然后将非线性回归方程变成线性回归直线方程
②类型二，，做法同指数型，变化方式为两边取对数（底数判断方式同上），令，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：指数型
典型例题
例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（   ）
A．12 B． C． D．7
【答案】B
【详解】由已知，，所以，
，，所以
，
由题意，满足线性回归方程为，所以，所以，
此时线性回归方程为，即，
可将此式子化为指数形式，即为，
因为模型为模型，所以，，
所以.
故选：B.
例题2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））一只红铃虫产卵数和温度有关，现测得一组数据，可用模型拟合，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然常数，则________.
【答案】
【详解】经过变换后，得到，根据题意，故，又，故，，故，于是回归方程为一定经过，故，解得，即，于是.
故答案为：.
例题3．（2022·河南商丘·高二期末（文））网络是指第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传输速度快，峰值传输速度可达每秒钟数十.作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备远不止智能手机，而是会扩展到未来的智能家居，智能穿戴等设备.某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该公司1月份至6月份的经济收入（单位：万元）关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份
1
2
3
4
5
6
收入
6
11
23
37
72
124
(1)根据散点图判断，与（均为常数）哪一个更适合作为经济收入关于月份的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？
(2)根据（1）的结果及表中数据，求出关于的回归方程（结果保留两位小数）；
(3)根据（2）所求得的回归方程，预测该公司7月份的经济收入（结果保留两位小数）.
参考公式及参考数据：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，；
3.5
45.5
3.34
17.5
393.5
10.63
239.85
其中，（）.
【答案】(1)更适合
(2)
(3)239.85万元
（1）由散点图可知，更适合作为经济收入y关于月份x的回归方程类型.
（2）的两边取自然对数，得.因为，，，，所以，，所以，所以经济收入y关于月份x的回归方程为.
（3）当时，.预测该公司7月份的经济收入约为239.85万元.
例题4．（2022·福建三明·