人教版高中数学第1讲　函数及其表示.doc

第1讲　函数及其表示
一、知识梳理
1．函数的概念
函数
两集合A，B
A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
常用结论
几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)指数函数的底数大于0且不等于1.
(6)正切函数y＝tan x的定义域为.
二、教材衍化
1．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
答案：B
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案：[－3，0]∪[2，3]　[1，5]　[1，2)∪(4，5]
3．函数y＝·的定义域是________．
解析：⇒x≥2.
答案：[2，＋∞)
4．已知函数f(x)＝则f(－2)＝________，f[f(－2)]＝________．
解析：f(－2)＝(－2)2＝4，f[f(－2)]＝f(4)＝4＋1＝5.
答案：4　5
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(　　)
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)对函数概念理解不透彻；
(2)对分段函数解不等式时忘记范围；
(3)换元法求解析式，反解忽视范围．
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．
答案：③
2．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________．
解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．
答案：(－∞，－2]∪[0，10]
3．已知f()＝x－1，则f(x)＝________．
解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)
考点一　函数的定义域(基础型)
学****用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
核心素养：数学抽象
角度一　求函数的定义域
(1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－1，3] B．(－1，0)∪(0，3]
C． [－1，3] D．[－1，0)∪(0，3]
(2)(2020·华南师范大学附属中学