人教版高中数学第5讲　第1课时　椭圆及其性质.doc

第5讲　椭　圆
一、知识梳理
1．椭圆的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的轨迹为椭圆
F1、F2为椭圆的焦点
|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
[注意]　若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝，e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
3.点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1.
常用结论
椭圆的常用性质
(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
(2)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为.
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.
(5)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
二、教材衍化
1．椭圆16x2＋25y2＝400的长轴的长________，离心率________．
答案：10　
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是________．
答案：＋＝1
3．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为________，△AF1F2的周长为________．
答案：20　16
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)
(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(5)＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)忽视椭圆定义中的限制条件；
(2)忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论．
1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．
答案：线段F1F2
2．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为________．
答案：＋＝1或＋＝1
第1课时　椭圆及其性质
考点一　椭圆的定义及应用(基础型)
了解圆锥曲线的实际背景，从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义．
核心素养：数学抽象
(1)(2020·黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
(2)(2020·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】　(1)设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，
因为OA＝OB，OF＝OF1，
所以四边形AFBF1是平行四边形．
所以|BF|＝|AF1|，
所以|AF|＋|BF|＝