2022届高考数学一轮复习（人教版）第4章 §4.4　三角函数的图象与性质.docx

§4.4　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在上的性质．
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示　正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？
提示　(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)
(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
(3)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)
(4)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　)
题组二　教材改编
2．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
3．下列函数中，是奇函数的是(　　)
A．y＝|cos x＋1| B．y＝1－sin x
C．y＝－3sin(2x＋π) D．y＝1－tan x
答案　C
解析　选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.
4．函数f(x)＝cos的最小正周期是________．
答案　π
题组三　易错自纠
5．(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
答案　ABC
解析　由题意，可得f(x)＝－cos x，
对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确；
对于选项B，y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递增，所以选项B正确；
对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.
6．函数y＝tan的图象的对称中心是________．
答案　，k∈Z
解析　由x＋＝，k∈Z，
得x＝－，k∈Z，
∴对称中心是，k∈Z.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝的定义域为________．
答案　(k∈Z)
解析　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
答案　
解析　因为x∈，所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝22＋，
所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先