2022届高考数学一轮复习（人教版）第6章 §6.1　数列的概念与简单表示法.docx

§6.1　数列的概念与简单表示法
考试要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
若已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
(3)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
3．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
关系
递减数列
an＋1<an
常数列
an＋1＝an
4.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
微思考
1．数列的项与项数是一个概念吗？
提示　不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？
提示　体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的通项公式是唯一的．(　×　)
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　×　)
(3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．(　×　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　√　)
题组二　教材改编
2．数列，，，，，…的通项公式是an＝________.
答案　an＝，n∈N*
3．已知数列a1＝2，an＝1－(n≥2)．则a2 022＝________.
答案　－1
解析　a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，所以数列{an}满足an＝an＋3，所以a2 022＝a3＝－1.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn＋1，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
答案　(－∞，3)
解析　由题意得an＋1>an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n2－λn＋1.
化简得，λ<2n＋1，n∈N*，∴λ<3.
题组三　易错自纠
5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝________.
答案　
解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋1＋2(n－1)2－1＝－4n＋2，a1＝－1不适合上式，所以an＝
6．若an＝－n2＋9n＋10，则当数列{an}的前n项和Sn最大时，n的值为________．
答案　9或10
解析　要使Sn最大，只需要数列中正数的项相加即可，
即需an>0，－n2＋9n＋10>0，得－1<n<10，
又n∈N*，所以1≤n<10.
又a10＝0，所以n＝9或10.
题型一 由an与Sn的关系求通项公式
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.
答案　2n＋1
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1.
2．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
答案　－2n－1
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，q＝2的等比数列．
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
3．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.
答案　
解析　当n＝1时，a1＝21＝2.
∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
∴a1＋3a2＋