2022届高考数学一轮复习（人教版）第7章 §7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系.docx

§7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间中直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
3．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
微思考
1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？
提示　不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交或异面．
2．平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？
提示　平行或相交．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有三个公共点的两个平面必重合．(　×　)
(2)三条两两相交的直线确定一个平面．(　×　)
(3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.(　√　)
(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.(　√　)
题组二　教材改编
2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　C
解析　连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.
3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b(　　)
A．共面 B．平行
C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线
答案　D
解析　α∥β，说明a与b无公共点，
∴a与b可能平行也可能是异面直线．
4．两两平行的三条直线可确定________个平面．
答案　1或3
解析　若三条直线在同一平面内，则确定1个平面．若三条直线不共面，则确定3个平面．
题组三　易错自纠
5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)
A．b⊂α B．b∥α
C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α
答案　D
解析　由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b⊂α.
6．下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；
②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；
④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．
答案　④
解析　①a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，异面或相交．
②a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面．
③a，b不同在α内，则a与b异面或平行．
④由异面直线的定义可知正确.
题型一 平面基本性质的应用
例1 如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明　(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，
平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.
又Q∈EF，∴Q∈β，
则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.
∴R∈α，且R∈β，
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证