2022届高考数学一轮复习（人教版）第7章 强化训练8　空间位置关系中的综合问题.docx

强化训练8　空间位置关系中的综合问题
1．(2021·保山模拟)下列叙述错误的是(　　)
A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，则P∈l
B．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面
C．三点A，B，C确定一个平面
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l⊂α
答案　C
解析　选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由公理1得，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．
2．(2021·资中模拟)若l1，l2为异面直线，直线l3与l2平行，则l1与l3的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面　C．平行 D．异面或相交
答案　D
解析　将直线l1，l2，l3放在正方体中，作为正方体的棱，可知D选项正确．
3．(2021·潍坊模拟)已知a，b为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是(　　)
A．若a⊥α，b⊥a，则b∥α
B．若a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．若a∥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β
D．若α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β
答案　C
解析　A选项，若a⊥α，b⊥a，则b∥α或b⊂α，A错；B选项，若a，b⊂α，a∥β，b∥β，当a∥b时，α与β可能相交，故B错；C选项，若a∥b，b⊥β，根据线面垂直的性质，可得a⊥β，又a∥α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故C正确；D选项，若α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，垂直于交线，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出a⊥β，即不能推出α⊥β，故D错．
4.(2021·合肥模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　C
解析　如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，
所以∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角或其补角，
由已知可得BD＝DE＝BE＝，△BDE为正三角形，所以∠BDE＝60°，
所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
5．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论正确的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．平面ACC1A1⊥CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
答案　ABC
解析　对于A，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴BD∥B1D1，由线面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，A正确；
对于B，连接AC，
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC1，B正确；
对于C，由上可知BD⊥平面ACC1，
又BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面ACC1，
则平面ACC1A1⊥CB1D1，C正确；
对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角为45°，D错误．
故选ABC.
6．(多选)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．平面D1A1P⊥平面A1AP
B．∠APD1的取值范围是
C．三棱锥B1－D1PC的体积为定值
D．DC1⊥D1P
答案　ACD
解析　在A中，因为A1D1⊥平面A1AP，
A1D1⊂平面D1A1P，
所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；
在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝，故B错误；
在C中，因为△B1D1C的面积是定值，
A1B∥平面B1D1C，
所以点P到平面B1D1C的距离是定值，
所以三棱锥B1－D1PC的体积为定值，故C正确；
在D中，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC⊂平面BCD1A1，
所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确．
7．如图所示，在三棱锥A－BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△BCD的周长是18，则△EFG的周长为________．
答案　6
解析　由已知得EF∥BD，EG∥BC，FG∥DC，
∴△EFG∽△BDC，
∴＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴△EFG的周长＝18×＝6.
8．(2020·天津模拟)如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，底面△ABC为边长为1的等边三角形，SA＝AB，则A与平面SBC的距离为________．
答案