2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.6　双曲线.docx

§8.6　双曲线
考试要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　√　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)
教材改编题
1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A．－1<k<5 B．k>5
C．k<－1 D．k≠－1或5
答案　C
解析　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则解得k<－1.
2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　C
解析　依题意知，双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝，虚半轴长b＝1，
所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±x.
3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
答案　17
解析　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，
因为|PF1|＝9，
所以|PF2|＝1或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
题型一　双曲线的定义及应用
例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(0<x<2)
D.＋＝1(0<x<3)
答案　A
解析　如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，
则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，
即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，
所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>2)．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
答案　2
解析　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
思维升华　在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
跟踪训练1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外