人教版高中数学第2讲 数列解答题（数列求通项） (解析版）.docx

第2讲　数列解答题（数列求通项）
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：法
突破二：法
突破三：累加法
突破四：累乘法
突破五：构造法
突破六：倒数法
突破七：隔项等差
突破八：隔项等比
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、对于数列，前项和记为；
①；②
②：
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求
2、对于数列，前项积记为；
①；②
①②：
法归类
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.
3、累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
4、累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
5、构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
6、倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
7、隔项等差数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
8、隔项等比数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
第二部分：重难点题型突破
突破一：法
1．（2022·河北张家口·高三期中）已知正项数列的前n项和为，其中
．
(1)求的通项公式，并判断是否是等差数列，说明理由；
【答案】(1)，数列不是等差数列，理由见解析；
【详解】（1）由得，当时，，两式相减得，整理得，
因为数列为正项数列，所以，则，即，
在中，令，则，
解得或-1（舍去），所以，
所以数列从第2项起为等差数列，公差为2，
所以，数列不是等差数列.
2．（2022·湖南益阳·高二阶段练****已知各项为正数的数列的前项和为，若.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减可得，，又，
，即是首项为，公差为的等差数列，
因此，的通项公式为；
3．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知正项数列的前项和，且.
(1)证明：数列为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：∵，
∴当时，，
∴，
∴.
当时，，
∴，即，
故是首项为1，公差为1的等差数列；
4．（2022·江苏南通·高三期中）已知为正项数列的前n项和，且，当时，.
(1)证明为等差数列，并求的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
【详解】（1）因为，所以，
所以为等差数列.
因为，所以，所以，
所以
当时，
，
当时，，所以.
5．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知数列满足.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）