人教版高中数学第5讲 指对幂函数及其应用（解析）.docx

第5讲 指对幂函数及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
指数和指数函数
1.根式的概念及性质
(1)概念：称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
(2)性质：()n＝a；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|.
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)指数函数的图像与性质
a>1
0<a<1
图像
性质
定义域
定义域为R
值域
值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0
过定点
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
当x>0时，0<y<1；
当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
对称性
y＝ax与y＝的图像关于y轴对称
对数和对数函数
1.对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
①loga(MN)＝logaM＋logaN，
②logaMα＝αlogaM，
③loga＝logaM－logaN.
其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
a>1
0<a<1
图像
性质
定义域
定义域为(0，＋∞)，图像在y轴的右边
值域
值域为R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值
的变化
当0<x<1时，y<0，
当x>1时，y>0
当0<x<1时，y>0，
当x>1时，y<0
单调性
增函数
减函数
对称性
y＝logax与y＝logx的图像关于x轴对称
4.指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称.
幂函数和二次函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图像
(3)幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1，1).
②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.
③如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内；当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图像和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图像
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
考点和典型例题
1、指数和指数函数
【典例1-1】（2020·黑龙江·东宁市第一中学高二阶段练****关于函数的结论正确的是（       ）
A．值域是 B．单调增区间是
C．值域是 D．单调减区间是
【答案】AB
【详解】
令，
则