人教高中数学第8章 §8.1　直线的方程.docx

§8.1　直线的方程
考试要求　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
知识梳理
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
牢记口诀：
1．“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　)
(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan　α.(　×　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　)
(4)截距可以为负值．(　√　)
教材改编题
1．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1　　 B．4
C．1或3　　 D．1或4
答案　A
解析　由题意得＝1，解得m＝1.
2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0　　 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0　　 D．x＋y＋1＝0
答案　D
解析　直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，
设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，
解得a＝5.
所以直线方程为x＋y－5＝0.
题型一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
答案　B
解析　直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.
由于α∈，
所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
(2)过函数f(x)＝x3－x2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为(　　)
A.　　 B.∪
C.　　 D.
答案　B
解析　设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，
∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴切线的斜率k＝tan α≥－1，
则α∈∪.
教师备选
1．(2022·潮州模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
A．k≥　　 B．k≤－2
C．k≥或k≤－2　　 D．－2≤k≤
答案　D
解析　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
∴－2≤k≤.
2．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
答案　[－，0)∪
解析　当α∈时，
k＝tan　α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上得k∈[－，0)∪.