人教考点09 幂函数与二次函数（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.docx

考向09 幂函数与二次函数
1．（2021·全国高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】
设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
2．（2020·江苏高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【分析】
先求，再根据奇函数求
【详解】
，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
1、根据图象高低判断幂指数大小的方法
幂函数的幂指数的大小,大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映．一般地,在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0)．在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴．
2、对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c,若是二次函数,就隐含a≠0,当题目未说明是二次函数时,就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．②在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,a的正负决定抛物线开口的方向(a的大小决定开口大小),c确定抛物线在y轴上的截距,b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．
3、根据二次函数单调性求参数范围,常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系,若二次函数在某区间上单调,则该区间在对称轴的一侧,若二次函数在某区间上不单调,则对称轴在该区间内（非端点）,
4、二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值．
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
2．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
3．表示形式
(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.
4.幂函数y=xα的图象与性质
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点
过(0，0)，(1，1)
过(0，0)，(1，1)
过(1，1)
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
y=x2
、
5.二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称性
函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性
当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数.
在上是增函数；
在上是减函数.
最值
当时，
当时，
【知识拓展】
1．幂函数的单调性
当α>0时幂函数在(0,＋∞)上单调递增；(2)当α<0时,幂函数在(0,＋∞)上单调递减．f(x)<0().
2．幂函数的奇偶性
形如y＝或y＝ (m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性