人教版2021届大题优练9 圆锥曲线探索性问题 教师版.docx

圆锥曲线探索性问题
大题优练9
优选例题
例1．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，且椭圆上存在点与点关于直线对称．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆只有一个公共点，点，是轴上关于原点对称的两点，且点，在直线上的射影分别为，，判断是否存在点，，使得为定值，若存在，求出，的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），存在点，或，，使得为定值，该定值为2．
【解析】（1）因为点在椭圆上，所以．
由题意知，
因为点与点关于直线对称，所以点的坐标为，
代入椭圆的方程，得，即，所以，
与联立并求解，得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）存在点，，使得为定值．
当直线的斜率存在时，设其方程为，
将代入，得，
则，得．
设，则，点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以，
当，即时，，为定值，
所以存在点，或，，使得；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
，或，均满足．
综上，存在点，或，，
使得为定值，该定值为2．
例2．已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）设双曲线的焦距为，
因为离心率为2，所以，，
联立，得，
所以点的坐标为，
因为，所以的面积为，所以，
双曲线的方程为．
（2）设，，直线的方程为，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，所以点的横坐标为，
联立，得，
，，
所以
，
直线与直线的交点在直线上．
模拟优练
1．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，与交于．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）椭圆，抛物线；（2）存在，．
【解析】（1）设椭圆焦点，
由题意得，解得，即椭圆焦点为，
所以抛物线的焦点为，所以，解得，
所以抛物线的方程为，
又椭圆得离心率为，所以，得．
又，得．
所以椭圆的方程为．
（2）由题意得，直线不与x轴平行，
设直线的方程为，并设，，，，
联立与，消去，整理得，
，，，
所以，
所以，
联立与，消去，整理得，
，，
所以，
得，
当，即时，为常数．
故存在，使为常数．
2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，当与轴垂直时，的周长为．
（1）求的方程：
（2）在轴上是否存在点，使得恒成立(为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由．