人教高中数学第10章 §10.3　二项式定理.docx

§10.3　二项式定理
考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识梳理
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数
C(k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
常用结论
1．两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．(　×　)
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)
(4)(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同．(　×　)
教材改编题
1．(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　)
A．C B．－C
C．C D．－C
答案　D
解析　T6＝Cx5(－1)5，
所以第6项的系数是－C.
2．(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案　ABC
解析　∵(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数C最大，∴n＝7或n＝8或n＝9.
3．在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________．
答案　1
解析　令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1.
题型一　通项公式的应用
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1　(1)(2022·烟台模拟)(1－2)8展开式中x项的系数为(　　)
A．28 B．－28
C．112 D．－112
答案　C
解析　(1－2)8展开式的通项公式为
Tk＋1＝C(－2)k＝.
要求x项的系数，只需＝1，解得k＝2，
所以x项系数为(－2)2C＝4×＝112.
(2)(2022·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则n的展开式中的常数项为______．
答案　4
解析　n的通项公式为
Tk＋1＝Cxn－kk＝Cxn－4k，
因为3≤n≤6，令n－4k＝0，
解得n＝4，k＝1，
所以n的展开式中的常数项为4.
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2　(1)(2022·泰安模拟)(x3－2)6的展开式中x6的系数为(　　)
A．6 B．10 C．13 D．15
答案　C
解析　由于6的展开式的通项为
Tk＋1＝，
令6－＝3，求得k＝2；
令6－＝6，求得k＝0，
故(x3－2)6的展开式中x6的系数为C－2C＝15－2＝13.
(2)(2022·合肥模拟)二项式(1－2x)4的展开式中x3项的系数是－70，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
答案　D
解析　因为(1－2x)4
＝2×(1－2x)4－×(1－2x)4，
(1－2x)4的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，k＝0,1,2,3,4，
所以2×(1－2x)4展开式中x3项的系数是
2×(－2)3C＝－64，
×(1－2x)4展开式中x3项的系数是
×(－2)2C＝，
所以－64－＝－70，解得a＝4.
教师备选
1．(2022·菏泽模拟)已知正整数n≥7，若(1－x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案　D
解析　(1－x)n的二项展开式中第k＋1项为
Tk＋1＝C(－1)kxk，
又因为(1－x)n＝x(1－x)n－(1－x)n的展开式不含x5的项，
所以xC(－1)4x4－C(－1)6x6＝0，
Cx5－Cx5＝0，即C＝C，
所以n＝10.
2．(2022·烟台模拟)在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．60