人教高中数学第19讲 空间距离、二面角与空间向量（教师版）.docx

第19讲 空间距离、二面角与空间向量
真题展示
2022新高考一卷第19题
如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【思路分析】（1）利用柱与锥的体积关系求得三棱锥的体积，再由等体积法求点到平面的距离；
（2）以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的正弦值．
【解析】（1）由直三棱柱的体积为4，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
（2）【解法一】(面面垂直性质+坐标法)：由直三棱柱知平面，又BB1平面，
所以平面平面，又平面平面，又平面平面，
所以平面，，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，又，解得，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
则，2，，，1，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，0，，
设平面的一个法向量为，，，
，令，则，，
平面的一个法向量为，1，，
，，
二面角的正弦值为．
【解法二】法二(定义法)：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，则四边形ABB1A1是正方形，
连接AB1、A1B，则AB1⊥A1B，
又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，A1B平面ABB1A1，
∴AB1⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，∴AB1⊥BC，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BB1⊥BC，
又AB1, BB1平面ABB1A1，AB1∩BB1=B1，∴BC⊥平面ABB1A1，
又AB平面ABB1A1，∴BC⊥AB。
设AB=A1A=a，BC=b，则a×ab=4，ab=2，解得a=b=2.
设AB1∩A1B=O，由AB1⊥平面A1BC，知AO⊥平面A1BC，由(1)知AO=，
在平面ABD中，过A作AE⊥BD于E，连接OE，则BD⊥平面AEO，从而BD⊥OE，
故∠AEO是二面角A-BD-C的补角的平面角，
△ABD中，可求得AD=BD=，又AB=2，由等面积法可得AE=，
∴Rt△AEO中，sin∠AEO==.即二面角A-BD-C的正弦值为.
【试题评价】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．
知识要点整理
知识点一　点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
知识点二　点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．
思考　怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？
答案　两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．
知识点三　两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面
α与平面β的夹角．
知识点四　 空间角的向量法解法
角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，