人教高中数学第五节 第3课时 难点专攻夺高分——立体几何的综合性问题 教案.doc

第3课时　难点专攻夺高分——立体几何的综合性问题
题型一　翻折问题
[典例]　(2021·重庆名校联考)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，BE⊥AD，BC＝3，AD＝15，BE＝3.把△ABE沿BE折起，使得AC＝6，得到四棱锥A­BCDE.如图2所示．
(1)求证：平面ACE⊥平面ABD；
(2)求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
[解]　(1)证明：在等腰梯形ABCD中，BC＝3，AD＝15，
BE⊥AD，可知AE＝6，DE＝9.
因为BC＝3，BE＝3，BE⊥AD，
所以CE＝6.
又因为AE＝6，AC＝6，
所以AC2＝CE2＋AE2，
则AE⊥EC.
又BE⊥AE，BE∩EC＝E，
所以AE⊥平面BCDE，又BD⊂平面BCDE，
故AE⊥BD.
因为tan∠DBE＝＝＝，
则∠DBE＝60°，因为tan∠BEC＝＝＝，
则∠BEC＝30°，所以CE⊥BD，
又AE∩EC＝E，所以BD⊥平面ACE.
又BD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACE.
(2)设EC∩BD＝O，过点O作OF∥AE交AC于点F，以点O为原点，以OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.
在△BOE中，因为∠BEO＝30°，BO⊥EO，
所以EO＝，BO＝，则CO＝，
则B，C，E，
A，
所以＝，＝(0,0，－6)，
＝(0，－6,6)，＝，
因为DE∥BC，DE＝9，
所以＝3＝，
所以＝＋＝，D，
所以＝.
设平面ABE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由得
取x1＝，可得平面ABE的一个法向量为
n1＝(，－1,0)．
设平面ACD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由得
取x2＝1，可得平面ACD的一个法向量为
n2＝(1，－3，－3)．
设平面ABE与平面ACD所成锐二面角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为.
[方法技巧]　翻折问题的2个解题策略
确定翻折前后变与不变的关系
画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决
确定翻折后关键点的位置
所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算
　　[针对训练]
1．(2021·东北三省模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．
(1)求证：AE⊥PB；
(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求二面角A­PE­C的平面角的余弦值．
解：(1)证明：如图①，在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，连接BE.
∵AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED为平行四边形．
又∵AD＝AB，∴平行四边形ABED为菱形．
∴BD⊥AE.
翻折后如图②，可得OP⊥AE，OB⊥AE.
又∵OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，
∴AE⊥平面POB.
∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB.
(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，
平面PAE⊥平面ABCE.
又∵平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，
∴OP⊥平面ABCE.
以O为原点，OE所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图③.
由题意得，P，
E，C，
∴＝，
＝.
设平面PCE的法向量为n1＝(x，y，z)，
则即
令x＝，则y＝－1，z＝1，
∴平面PCE的一个法向量为n1＝(，－1,1)．
又平面PAE的一个法向量为n2＝(0,1,0)，
则cosn1，n2＝＝＝－.
∵所求二面角A­PE­C的平面角为钝角，
∴所求二面角A­PE­C的平面角的余弦值为－.
2．如图，在直角梯形AO1O2C中，AO1∥CO2，AO1⊥O1O2，O1O2＝4，CO2＝2，AO1＝4，点B是线段O1O2的中点，将△ABO1，△BCO2分别沿AB，BC向上折起，使O1，O2重合于点O，得到三棱锥O­ABC.试在三棱锥O­ABC中