人教版2021届大题优练10 导数之隐零点问题 教师版.docx

导数之隐零点问题
大题优练10
优选例题
例1．已知函数．
（1）若函数，讨论在的单调性；
（2）若，对任意恒成立，求整数k的最大值．
【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）．
【解析】（1）因为，
令，则．
所以函数在单调递增，从而，所以．
由，得；由，得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）因为，对任意恒成立，
所以．
令，则，所以在R上单调递增，
又，，
所以存在唯一的，使得，
又，
由（1）知当时，，所以，
所以存在唯一的，使得，即．
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，
所以，
，，
又，所以k的最大值为．
模拟优练
1．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：不等式恒成立．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1），
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得到，
所以当时，，单调递增；
当，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）设函数，则，
可知在上单调递增．
又由，，知在上有唯一实数根，且，
则，即．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，结合，知，
所以，
则，即不等式恒成立．
2．已知函数．
（1）求的最值；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）．
【解析】（1），
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
（2）由题知，在上恒成立，
令，则，
因为，所以．
设，易知在上单调递增．
因为，，
所以存在，使得，即．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，从而，
故的取值范围为．
3．已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵，，∴，
当时，恒成立，函数单调递减，函数无极值；
当时，时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
故函数的极小值为，无极大值．
（2）证明：令，
，
故，
令的根为，即，
两边求对数得，即，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴，
∴，即原不等式成立．
4．设函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减；（