人教高中数学第06讲 双曲线 (精讲）（教师版）.docx

第06讲 双曲线 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：双曲线的定义及其应用
题型二：双曲线的标准方程
题型三：双曲线的简单几何性质
角度1：渐近线
角度2：离心率
题型四：与双曲线有关的最值和范围问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
间的关系
知识点三：等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
知识点四：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练****双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由双曲线离心率为，得，所以所以，
所以双曲线方程为，
将代入得.
所以双曲线的方程为.
故选：D
2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））双曲线的方程为 ​， 则该双曲线的离心率为（       ）
A．​ B．​
C．​ D．​
【答案】D
由双曲线方程得，，
则双曲线的离心率为.
故选：D.
3．（多选）（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（       ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】BC
若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
4．（2022·贵州遵义·高二期末（理））过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为__________．
【答案】，
由双曲线：可得其渐近线方程为，
∴过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为，
即，.
故答案为：，.
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练****若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为______．
【答案】
化为标准方程：，
则，故，则可得：，
解得：，
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：双曲线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知双曲线的左右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点P在双曲线上，且，则______．
【答案】13
由题意，，故，双曲线，，因为小于到右顶点的距离，故在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得，解得
故答案为：13
例题2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
由椭圆方程知其焦点为；由双曲线方程知其焦点为；
椭圆与双曲线共焦点，设其右焦点为，
为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，
由椭圆和双曲线定义知：，解得：.
故选：A.
例题3．（2022·全国·高二专题练****双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于､两点，，则的周长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题可得，
则的周长为.
故选：C．
例题4．（2022·江苏·高二）已知､是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，求的面积.
【答案】
因为､是双曲线的两个焦点，
所以，所以；
设，，
因为点M是双曲线上一点，且，所以；
在△中，由余