人教高中数学第6讲 三角函数的图象与性质（教师版）.docx

第六讲 三角函数的图象与性质
真题展示
2022新高考一卷第六题
记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则　　
A．1 B． C． D．3
【解析】
【解法一】(取值试验)函数的最小正周期为，
则，由，得，，
的图像关于点，中心对称，，
且，则，．
，，取，可得．
，则．故选：．
【解法二】(解不等式)：仿法一得2<ω<3及，k∈Z，则2<<3，解得，又k∈Z，∴k=4，下同法一。
【试题评价】本题考查型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
试题亮点 三角函数是一类重要的函数，三角函数的周期性是其基本性质，三角函数的周期性决定了该函数的很多其他性质.刻画三角函数周期性的是频率ao.理解频率a对三角函数的各种几何性质和代数性质的影响，是考查和评价考生的基本要求.试题亮点如下：
（1）试题巧妙地设计了正弦型三角函数图像的中心对称性，反过来要求考生经过分析与综合，判断正弦型函数频率的取值或最小正周期的取值，这是对考生全面掌握三角函数性质及其研究方法的一次很好的检验.
（2）在试题的求解过程中，要求考生熟练掌握基本三角函数（y=sinx）的性质，及其与复合函数（y=sin（wx+q））的性质之间的关系，有利于指导教师在高中数学教学中整体把握三角函数的教学.
（3）数学正向问题的解决主要依靠形式逻辑推理思维，其解决路径是清晰的、确定的；而数学反向问题的解决需要建立在辩证逻辑思维的基础上，其解决路经需要分析与综合判断．辩证逻辑思维是考生未来进入高等学校学****进一步开展科学研究需要运用的主要的思维方式.因此，试题有利于考查考生未来的学****潜能，有利于检测考生的辩证逻辑思维能力，对高中数学教学具有引导作用.
知识要点整理
　一、正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
图象画法
五点法
五点法
关键五点
(0,0)，，(π，0)，
，(2π，0)
(0,1)，，(π，－1)，
，(2π，1)
正(余)弦曲线
正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线
二、正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
值域
R
最小正周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
对称性
对称中心(k∈Z)
三、　函数的周期性
1．函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
四、　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
定义域
R
R
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数
余弦函数
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都单调递减
在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
三年真题
一、单选题
1．已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
2．函数在区间的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
3．已知函数，则（    ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在