人教高中数学第6章 §6.1　数列的概念.docx

§6.1　数列的概念
考试要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
常用结论
1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　×　)
(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(　×　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　×　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　√　)
教材改编题
1．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 023的值为(　　)
A．2 B．－3 C．－ D.
答案　C
解析　因为a1＝2，an＋1＝，
所以a2＝＝－3，
同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，…，
可得an＋4＝an，则a2 023＝a505×4＋3＝a3＝－.
2．数列，，，，，…的通项公式是an＝________.
答案　，n∈N*
解析　∵a1＝＝，
a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝，
a5＝＝，
∴通过观察，我们可以得到如上的规律，
则an＝，n∈N*.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案　4n－5
解析　a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
＝4n－5，
因为a1也适合上式，所以an＝4n－5.
题型一　由an与Sn的关系求通项公式
例1　(1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于(　　)
A．27 B．81
C．93 D．243
答案　B
解析　根据2Sn＝3an－3，
可得2Sn＋1＝3an＋1－3，
两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，
即an＋1＝3an，
当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以a4＝a1q3＝34＝81.
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.
答案　
解析　当n＝1时，a1＝21＝2.
∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得，(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1，
∴an＝(n≥2)．
显然n＝1时不满足上式，∴an＝
教师备选
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.
答案　2n＋1
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1.
2．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
答案　－2n－1
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，
∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，
∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列．
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
思维升华　(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2