人教高中数学第6章 §6.3　等比数列.docx

§6.3　等比数列
考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a.
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
常用结论
1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列．
2．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
3．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．(　×　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　×　)
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　)
教材改编题
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a4＝，则公比q等于(　　)
A．－ B．－2 C．2 D．±
答案　D
解析　设等比数列的公比为q，
∵{an}是等比数列，a2＝2，a4＝，
∴a4＝a2q2，
∴q2＝＝，
∴q＝±.
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a6＋a8＝______.
答案　5
解析　∵{an}是等比数列，
且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，
∴a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝25.
又∵an>0，∴a6＋a8＝5.
3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．
答案　1,3,9或9,3,1
解析　设这三个数为，a，aq，
则
解得或
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
题型一　等比数列基本量的运算
例1　(1)(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案　B
解析　方法一　设等比数列{an}的公比为q，
则q＝＝＝2.
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.
所以an＝a1qn－1＝2n－1，
Sn＝＝2n－1，
所以＝＝2－21－n.
方法二　设等比数列{an}的公比为q，
则
得＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4.
所以a1＝＝1，下同方法一．
(2)(2019·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
答案　
解析　设等比数列{an}的公比为q，
因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，
所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，
所以S5＝＝＝.
教师备选
1．已知数列{an}为等比数列，a2＝6,6a1＋a3＝30，则a4＝________.
答案　54或24
解析　由
解得或
a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.
2．已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，则a6等于(　　)
A．－2或32 B．－2或64
C．2或－32 D．2或－64
答案　B
解析　∵数列{an}为等比数列，
a2a6＝－2a7＝a1a7，
解得a1＝－2，
设数列的公比为q，S3＝－