人教高中数学第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 (精讲）（解析版）.docx

第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：离散型随机变量分布列的性质
题型二：求离散型随机变量的分布列
题型三：离散型随机变量的均值与方差
角度1：期望、方差的计算
角度2：决策问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量．
表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，．
知识点二：离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列．
…
…
…
…
知识点三：离散型随机变量的分布列的性质
①，
②
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
知识点四：离散型随机变量的均值与方差
（1）离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布为：
…
…
…
…
则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望.
（2）离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：
…
…
…
…
则称
为随机变量的方差，有时也记为.
称为随机变量的标准差.
知识点五：均值与方差的性质
（1）
（2）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（       ）
A．36元 B．37元 C．38元 D．39元
【答案】B
【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元）
故选：B
2．（2022·北京·东直门中学高二阶段练****若随机变量的分布列如表，则的方差是（       ）
0
1
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】解：，
则.
故选：D.
3．（2022·四川眉山·高二期末（文））若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为___________.
【答案】8
【详解】由题设，，故，
所以新数据的标准差为8.
故答案为：8
4．（2022·广东潮州·高二期末）随机变量，满足，且，则___________.
【答案】7
【详解】
故答案为:7
5．（2022·广西玉林·模拟预测（理））离散型随机变量的分布列如表，则实数a＝________；E（）＝________．
－1
0
1
P
a
【答案】     ##     ##
【详解】由离散型随机变量的分布列得，解得．
所以
故答案为：；
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：离散型随机变量分布列的性质
典型例题
例题1．（2022·江西抚州·高二期末（理））设随机变量的分布列为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意：
所以，得
所以
故选：C．
例题2．（2022·全国·高二期末）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示.
4
5
6
7
8
9
10
0.03
0.05
0.07
0.08
0.26
0.23
则（   ）
A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90
【答案】C
【详解】由题意，解得.
∴＝
．
故选：C
例题3．（2022·安徽·合肥市第九中学高二期中）若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且
，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以，
由，
所以，所以，
故选：D
同类题型归类练
1．（2022·吉林省实验中学高二阶段练****设随机变量X的概率分布列如下：则（       ）
X
－1
0
1
2
P