人教高中数学第07讲 抛物线 (精讲）（教师版）.docx

第07讲 抛物线 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：抛物线的定义及其应用
题型二：抛物线的标准方程
题型三：抛物线的简单几何性质
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
角度2：利用函数思想求最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离为（       ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
解：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C
2．（2022·北京平谷·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
解：抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离；
故选：A
3．（2022·北京·清华附中高二阶段练****已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（       ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】C
解：设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，
点在抛物线上，，
，．
故选：C．
4．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练****文））抛物线的准线方程是，则实数a的值（       ）
A． B． C．8 D．-8
【答案】A
由题意得：，解得：.
故选：A
5．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为___________．
【答案】
设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为、、、，，
由梯形中位线得，，
∴准线方程为
故答案为：．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：抛物线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·上海普陀·二模）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（    ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
【答案】C
由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.
故选：C
例题2．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D
例题3．（2022·全国·高三专题练****动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
【答案】或．
解：∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，
∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等．
∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且．
∴抛物线的方程为，
又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2，
∴M点的轨迹方程为②．
综上，得动点M的轨迹方程为或．
同类题型归类练
1．（2022·山东·青岛二中高二阶段练****已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
2．（2022·江苏·高二）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
【答案】
解：由抛物线