人教高中数学第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题 (讲）（教师版）.docx

第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
题型二：利用空间向量求点到平面的距离
题型三：立体几何中的折叠问题
题型四：立体几何综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
知识点二：点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东茂名·高二期末）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故选：A
2．（2022·福建厦门·高二期末）直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为(       )
A． B． C． D．
【答案】C
∵，
∴
又，
∴在方向上的投影，
∴P到l距离.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练****已知点，，，则点A到直线BC的距离是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
由已知得，，
所以，
所以，
所以点A到直线BC的距离是.
故选：B
4．（2022·四川·阆中中学高二阶段练****理））已知平面的一个法向量为，点在平面内，且到平面的距离为，则的值为（       ）
A．1 B．11 C．或 D．
【答案】C
，而，       
即，
解得或－11.
故选：C
5．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二开学考试）在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
以为空间直角坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.由于是中点，故，且，设是平面的法向量，故，故可设，故到平面的距离.故选A.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·高二期末）如图，在正三棱柱中，若，则到直线的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意知，，
取AC的中点O，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线的距离为：.
故选：D
例题2．（2022·全国·高二课时练****在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵，，，
∴，
∴，
∴在方向上的投影数量为，
∴点到直线的距离为.
故选：C.
例题3．（2022·全国·高二专题练****已知直线过定点，且(0，1，1)为其一个方向向量，则点到直线的距离为_______.
【答案】##
，故||，
，
设直线与直线所成的角为，则|，
故，
点到直线的距离为．
故答案为:
题型归类练
1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）如图，在棱长为1的正方体中，点B到直线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
向量法，根据公式即可求出答案.
【详解】
以为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，．
取，，则，，
则点B到直线AC1的距离为．
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练****是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，，若M满足，则点M到直线的距离为（       ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
，
则，
则
，
点M到直线的距离.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练****理））已知棱长为3的正方体中，点是棱的中点，，动点P在正方形 (包括边界)内运动，且平面，则的取值范围为______.
【答案】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
面截正方体的截面为梯形，其中，，
取中点，在上取点，使，在取点，使，
则平面平面，
动点在正方形（包括边界）内运动，且面，
点的轨迹是线段，
，0，，，0，，，3，，
，0，，，3，，
点到线段的距离，
的长度的最小值为，
又，，长度的最大值为．
的长度范围