人教高中数学第8节 抛物线.doc

第8节　抛物线
考试要求　1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学****进一步体会数形结合的思想.
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　)
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行于抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
2.(易错题)抛物线y＝－x2的焦点坐标是(　　)
A.(0，－1) B.(0，1)
C.(1，0) D.(－1，0)
答案　A
解析　抛物线y＝－x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，p＝2，＝1，故焦点为(0，－1).
3.(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是
(　　)
A.y2＝x B.x2＝y
C.y2＝－x D.x2＝－y
答案　BC
解析　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案　
解析　由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，
设直线AB的方程为
y＝(x－1).
由得3x2－10x＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝.
5.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
答案　x＝－
解析　法一　由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
法二　由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的准线方程为x＝－.
6.(2022·龙岩一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则·的值等于________.
答案　6－2
解析　设B(x0，y0).由方程组
消去y并整理，
得x2＋4x－1＝0(x≥0)，解得x0＝－2.
由题意，得F(1，0)，A(－1，0)，
∴＝(－2，0)，＝(x0－1，y0).
∴·＝(－2，0)·(x0－1，y0)＝－2(x0－1)＝2－2x0＝2－2(－2)＝6－2.
　考点一　抛物线的定义和标准方程
1.设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x＝－4 B.x＝－3
C.x＝－2 D.x＝－1
答案　A
解析　直线2x＋3y－8＝