人教高中数学第9讲　第2课时　定点、定值、范围、最值问题.doc

第2课时　定点、定值、范围、最值问题
一、选择题
1.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B.[－2，2]
C.[－1，1] D.[－4，4]
解析　Q(－2，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.
答案　C
2.(2017·石家庄模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)
A. B. C.4 D.5
解析　由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.
答案　B
3.已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)
A.2 B.2 C.8 D.2
解析　根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，
∴＋＝1，可得m＝2.
答案　B
4.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A.[3，＋∞) B.(3，＋∞)
C.(1，3] D.(1，3)
解析　依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0.
∵渐近线与抛物线有交点，
∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，
∴c＝≥3a，∴e＝≥3.
答案　A
5.(2016·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A.2 B. C. D.
解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，
得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
答案　C
二、填空题
6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________.
解析　由条件知双曲线的焦点为(4，0)，
所以解得a＝2，b＝2，
故双曲线方程为－＝1.
答案　－＝1
7.已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________.
解析　∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，∴||min＝.
答案　
8.(2017·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.
解析　双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e