人教高中数学第9章 §9.3　成对数据的统计分析.docx

§9.3　成对数据的统计分析
考试要求　1.了解样本相关系数的统计含义.2.理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析．
知识梳理
1．变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
(2)相关关系的分类：正相关和负相关．
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关．
2．样本相关系数
(1)r＝.
(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
3．一元线性回归模型
(1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，
其中
(2)残差：观测值减去预测值，称为残差．
4．列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
(2)计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
常用结论
1．经验回归直线过点(，)．
2．求时，常用公式＝.
3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　√　)
(2)经验回归直线 ＝ x＋ 至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　×　)
(3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(　√　)
(4)若分类变量X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．(　×　)
教材改编题
1．实验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的经验回归方程为(　　)
A.＝x＋1 B.＝x＋2
C.＝2x＋1 D.＝x－1
答案　A
解析　由已知可得＝×(1＋2＋3＋4)＝2.5，
＝×(2＋3＋4＋5)＝3.5，
所以经验回归直线过点(2.5,3.5)，
所以把点(2.5,3.5)代入四个选项中验证，可得只有＝x＋1成立．
2．(多选)下列关于成对样本数据的统计分析的判断中正确的有(　　)
A．若样本相关系数r＝0，则说明成对样本数据没有相关性
B．样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关性越强
C．用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0
D．决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
答案　CD
解析　对于A，当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但是不排除它们之间有其他相关关系，故A错误；
对于B，样本相关系数|r|越大，成对样本数据的线性相关性越强，故B错误；
对于C，残差和为
(yi－i)＝yi－(xi＋)]
＝i－i－
＝n－n－n
＝n(－－)＝0，故C正确；
对于D，决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D正确．
3．(多选)为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)：
幸福感强
幸福感弱
合计
阅读量多
m
18
72
阅读量少
36
n
78
合计
90
60
150
计算得：χ2≈12.981，参照下表：
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
对于下面的选项，正确的为(　　)
A．根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”
B．m＝54
C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”
D．n＝52
答案　BC
解析　∵ χ2≈12.981>7.879>6.635，
∴根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以