人教高中数学第10讲 第七章 立体几何与空间向量（综合测试）（教师版）.docx

第10讲 第七章 立体几何与空间向量（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
正方体的对角线是球的直径，所以，则，
所以球的表面积
故选：D.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
解：过点作,垂足为.
因为，，，；
，所以原四边形中的长度为2.
故选：B
3．（2022·江西·高三阶段练****理））1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E和F分别表示简单凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：．已知一个正多面体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱，则（       ）
A．50 B．52 C．60 D．62
【答案】D
由已知条件得出，解得，所以．
故选：D．
4．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（          ）
A． B．
C． D．
【答案】A
-＝，
.
故选：A．
5．（2022·山东济南·高一期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，
故选：B
6．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练****已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D

则点到平面的距离为
故选：D
7．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练****如图（1），在矩形中，，为线段上一点（不是端点），沿线段将折成（如图（2）），使得平面平面，且二面角的余弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
过作于，因为平面平面，所以平面．
过作于，连接，则即二面角的平面角，
所以．
在图（1）中，直线与垂直，交于，
以为原点，，的方向分别为，轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
所以直线的方程为，直线的方程为．
由，可知直线的方程为，与直线的方程联立解得，
所以．
因为，所以，解得．
由，得，所以，
化简得，解得，即．
在图（2）中，以为坐标原点，以，的方向分别为，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．因为，，
所以，，
进而可得，
因为，，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为．
故选：D
8．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（       ）个．
①若E为的中点，则直线平面
②三棱锥的体积为定值
③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
④过点，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，，.
所以，.
对于①：当E为的中点时，.设平面的一个法向量为,
则，不妨令x =1,则，
所以平面A1BD的一个法向量为.
又因为，所以与不垂直，所以直线平面不成立.故①错误；
对于②：三棱锥的体积等于三棱锥的体积.
又，高为a,所以.故②错误；
对于③：当E为的中点时，.平面的一个法向量为,
而.
设直线B1E与平面所成的角为，所以.
所以，所以，
即直线与平面所成的角正切值为.故③正确；
对于④：设.因为，，
所以在上得到投影为.
所以点E到直线的距离为.
当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为.
当时，截面为等腰梯形.设截面交于F.所以，
高，所以其面积为.
记，
所以，所以在上单调递减函数，
所以，即.
因为，所以
当z=a，即D1、E重合时，截面为边长为的正三角形，其面积为.
综上所述