人教高中数学第10章 §10.2　排列与组合.docx

§10.2　排列与组合
考试要求　1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．
知识梳理
1．排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C.
常用结论
解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)
(2)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序．(　√　)
(3)若组合数公式C＝C，则x＝m成立．(　×　)
(4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　×　)
教材改编题
1．将《步步高》《创新设计》等六本不同的教辅资料按如图所示的方式竖放在一起，则《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有(　　)
A．120种 B．240种
C．200种 D．180种
答案　B
解析　《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有2A＝240(种)．
2．有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有(　　)
A．36种 B．72种
C．108种 D．144种
答案　B
解析　不同排法种数为AA＝72(种)．
3．若C＝C＋C(n∈N*)，则n＝ .
答案　5
解析　由C＝C＋C，
所以C＝C，
又因为C＝C，
所以n－2＝3，即n＝5.
题型一　排列问题
例1　(1)(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为(　　)
A．AA B．AA C．A＋A D．A
答案　BD
解析　17名同学中选7名全部排序站在前排有A种方法，剩下10名同学全排在后排有A种方法，根据乘法原理，共有AA种方法．将前后排视为一排，共有A种方法．
(2)(2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1<a3<a5，则不同的排列方法种数为(　　)
A．15 B．30 C．45 D．60
答案　B
解析　由题意可知分两步：
①先排a1，a3，a5，
当a1＝2时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6有2种，
当a1＝3时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6有2种，
当a1＝4时，a3＝5，a5＝6有1种，共5种；
②再排a2，a4，a6，共有A＝6(种)，
所以不同的排列方法种数为5×6＝30.
教师备选
现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为(　　)
A．A·A B．A－A·A
C．A·A D．A－A
答案　B
解析　在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全相邻的方法数，即A－A·A.
思维升华　对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
跟踪训练1　(1)将1,2,3,4,5,6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，要求表格每一行数字之和均相等，则可组成不同表格的个数为(　　)
A.8 B．24 C．48 D．64
答案　C
解析　由1＋6＝2＋5＝3＋4，则可组成不同表格的个数为AAAA＝48.
(2)(2022·苏州调研)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学创新能力比赛，决出第一到第五名的名次(无并列名次)．甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“你们都没有得到第一，你们也都不是最后一名