人教高中数学第14讲 解析几何常见常考模型（解析版）.docx

第14讲 解析几何常见常考模型
高考预测一：垂直弦模型
1．已知抛物线的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，若，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【解析】解：（1）设直线的方程为,,,,,
联立得,
所以,,
所以,
当时，,解得,
所以抛物线的方程为．
设直线的方程为,,,,,
因为，则，即,
又,,
所以,解得,
联立,得,
所以,,
则直线的方程为,
所以直线过定点,记作点，
当点与点不重合时，为直角三角形，
，，
当为的中点时，，
当点与点重合，为中点时，，
所以存在点,使得为定值2．
2．已知椭圆，，、是椭圆上的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线与椭圆交于、两点，交轴于点，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根据题意可得，
解得，，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）假设存在这样的直线，
由已知可得直线的斜率存在，设直线方程为，
由，得，
△，
设，，，，
则，，
，
由，得，即，即，
故，
代入解得或．
所以的取值范围为，，．
3．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且．求证：直线过定点．
【解析】（Ⅰ）解：因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故曲线的方程为；
（Ⅱ）证明：设直线，，，，，
联立方程组，可得，
所以，，
所以，，，
因为线段为直线的圆过点，
所以为直角三角形，
故有，
所以，
化简可得，
又因为，，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以，解得或，
因为直线不过原点，所以，
故，
所以直线，
令，则，
所以直线恒过定点．
4．已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，焦距为2，点在椭圆上且满足，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，且，证明为定值，并求出该定值．
【解析】解：（Ⅰ）依题意，所以．
由，，得，，
于是，
所以，
所以，
因此椭圆的方程为．
（Ⅱ）证明：当直线的斜率存在时，设直线，，，，，
由消去得，
由题意，△，则，
因为，所以，
即，
整理得．
而，
设为原点到直线的距离，则，
所以，
而，所以．
当直线的斜率不存在时，设，，则有，不妨设，则，
代入椭圆方程得，所以，
所以．
综上．
5．已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且．
（Ⅰ）求此抛物线的方程；
（Ⅱ）过点做直线交抛物线于，两点，求证：．
【解析】（Ⅰ）解：设抛物线，点，
则有，
，，
，
所以抛物线的方程为；
（Ⅱ）证明：当直线斜率不存在时，此时，
解得，，
满足，；
当直线斜率存在时，设，
联立方程，
设，，，，则，
则
，
即有．
综上，成立．
6．已知，为椭圆上的两个动点，满足．
（1）求证：原点到直线的距离为定值；
（2）求的最大值；
（3）求过点，且分别以，为直径的两圆的另一个交点的轨迹方程．
【解析】（1）证明：当直线的斜率不存在时，由代入椭圆方程可得：，解得，此时原点到直线的距离为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，．
联立，化为，
△，则，，
．
，
化为，
化为，
化为，
原点到直线的距离．
综上可得：原点到直线的距离为定值．
（2）解：由（1）可得，
，
，
当且仅当时取等号．
的最大值为．
（3）解：如图所示，过点，且分别以，为直径的两圆的另一个交点的轨迹满足：，．
因此，，三点共线．
由（1）可知：原点到直线的距离为定值．
分别以，为直径的两圆的另一个交点的轨迹方程为．
高考预测二：内接直角三角形模型
7．在直角坐标系中，点到、的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．
（1）求轨迹的方程；
（2）当时，求与的关系，并证明直线过定点．
【解析】解：（1）点到，的距离之和是4，
的轨迹是长轴长为4，焦点在轴上焦距为的椭圆，
其方程为．
（2）将，代入曲线的方程，
整理得，
因为直线与曲线交于不同的两点和，
所以△．①
设，，，，则，．②
且．③