人教高中数学第21讲 双曲线（教师版）.docx

第21讲 双曲线
真题展示
2022新高考一卷第21题
已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
【思路分析】（1）将点代入双曲线方程得，由题显然直线的斜率存在，设，与双曲线联立后，根据直线，的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线的倾斜角为，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）【解法一】(常规设法)：将点代入双曲线方程得，
化简得，，故双曲线方程为，
由题显然直线的斜率存在，设，设，，，
则联立双曲线得：，
故，，
，
化简得：，
故，
即，当m+2k−1=0时，直线l：y=kx−2k+1过点A，不合题意，舍去.,故；
【解法二】解法二(平移变换+齐次化):
利用坐标平移变换将坐标原点平移到，
设新坐标系下直线的方程为，
双曲线的方程为：即，
则化齐次联立，得
即，
两边同时除以，得，
方程的两根即为直线的斜率，
即，故直线的斜率为.
【解法三】（齐次化）：
仿法一得双曲线方程为，设，
∵AP,AQ的斜率之和为0，∴，
故将双曲线方程为变形为：，
且设直线，
由式有：
,（两边同除以），
即，而是此方程的两根。
∴，故直线斜率为−1.
（2）【解法一】(计算AP、AQ)：设直线的倾斜角为，则∠PAQ=2α或2α−π，
由，，得或−，
当时，
∵，，得，即，
联立，及得，
代入直线得，故，
而，
由，得，
故．
当时，∠PAQ=2α，得，仿上得，
代入直线得，故，
而，
由，得，
故．
【解法二】法二(计算弦长和高) 设AP的倾斜角为α，则AQ的倾斜角为π−α，∠PAQ=2α或2α−π，
由tan∠PAQ=2有，解得tanα=或 (舍去，因为此时直线AP//双曲线渐近线，P不存在)，取kAP=，kAQ=，则AP：y−1=(x−2)，AQ：y−1= (x−2)，
由有由有
PQ：y=−x+，PQ==,A到PQ的距离h==，故△PAQ的面积为h=.
【解法三】（面积坐标公式）：仿法二得P,Q坐标，
所以，
故。
【试题评价】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．
知识要点整理
知识点一　双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
知识点二　双曲线标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
知识点三　双曲线的性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
知识点四　等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.
知识点五　直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．
知识点六　弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝.
试题亮点
圆锥曲线是高中数学中重要且基本的学****内容，同时也是高考考查的重点．试题分步设问，逐步推进，注重对基本概念、基本方法的考查，考查内容由浅入深，层次分明，重点突出，能很好地引导中学数学教学回归教材，试题对考生的逻辑推理、直观想象等数学核心素养，以及灵活地应用解析几何的