人教高中数学第34讲　高考题中的解答题五 （圆锥曲线）（教师版）.docx

第34讲　高考题中的解答题五 （圆锥曲线）
解析几何中的证明、定点、定值问题
(一)　证明问题　
圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题.
[典例]　(2022·山东淄博三模)如图，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，由椭圆E的四个顶点围成的四边形的面积为16.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设A为椭圆E的右顶点，过点M(－2a,0)且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于点B，C(点B在MC之间)，若N为线段BC上的点，且满足＝，证明：∠ANC＝2∠AMC.
[关键点拨]
切入点
(1)根据题意得到关于a，b，c的方程，进而可求出结果；(2)设直线l的方程为x＝my－8(m>0)，与椭圆联立，结合韦达定理证得点N在直线x＝－2上，从而可得出结论
迁移点
把几何量的关系∠ANC＝2∠AMC转化为数量关系
反思点
无论是条件还是结论，把几何关系数量化是解题的突破口
[解]　(1)由题设可知，2ab＝16，
即ab＝8，
因为e＝＝，b2＋c2＝a2，所以a＝2c，b＝c，
所以c＝2，a＝4，b＝2，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)证明：由(1)可知M(－8,0)，设直线l的方程为x＝my－8(m＞0)，其与椭圆E：＋＝1的交点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立得(4＋3m2)y2－48my＋144＝0，
Δ＝(48m)2－4(4＋3m2)×144＞0，即m＞2，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
设点N(x0，y0)，因为＝，所以＝，
即(x0－x1，y0－y1)＝(x2－x0，y2－y0)，所以y0＝，
所以y0＝，x0＝my0－8＝－2,
因为点N在直线x＝－2上，直线x＝－2垂直平分线段MA，
所以|NM|＝|NA|，即∠AMC＝∠MAN, 因为∠ANC为△MNA的一个外角，
所以∠ANC＝∠AMC＋∠MAN＝2∠AMC.
方法技巧
圆锥曲线中证明问题的求解策略
处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系(如证明直线垂直可转化为证明两直线的斜率之积为－1或方向向量的数量积为0，证明三点共线可转化为斜率相等或对应的向量共线)，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决．
针对训练
已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2,0)，一条渐近线方程为x－y＝0.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A，B，过F的直线l交C的右支于M，N两点，连接MB交直线x＝于点Q，求证：A，Q，N三点共线．
解：(1)依题意可得a2＋b2＝4，＝，解得a2＝3，b2＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)证明：易得A(－，0)，B(，0)，
显然，直线l的斜率不为0，设其方程为x＝my＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)
联立方程消去x整理得(m2－3)y2＋4my＋1＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
直线MB：y＝(x－)，令x＝得y＝，故Q，
＝(x2＋，y2)，＝，
所以y2－＝
，(*)
又(3＋2)y2(x1－)－y1(3－2)(x2＋)＝(3＋2)y2(my1＋2－)－y1(3－2)(my2＋2＋)＝[(3＋2)m－(3－2)m]y1y2＋(3＋2)·(2－)y2＋(2－3)(2＋)y1
＝4my1y2＋(y1＋y2)＝＋＝0，即(*)的值为0.
所以∥，
故A，Q，N三点共线．
(二)　定点问题　
定点问题常见类型
(1)证明直线过定点，其中证明直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明.
(2)圆或其他曲线过定点.
[典例]　(2022·四川成都七中三模)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1，且C经过点P.
(1)求C的方程；
(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点(l不经过D点)，且AD⊥BD.证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．
[关键点拨]
切入点
(1)利用待定系数法，根据椭圆的定义求出a，再求得b，即可求出椭圆方程．
(2)由已知得D(0,1)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系，结合AD⊥BD，求解m值
障碍点
把AD⊥BD转化为代数式求出直线方程中两个参数的关系式
隐藏点
参数m值应满足Δ＞0
[解]　(1)由题意得，设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，
则c＝，椭圆的另一个焦点为F2(，0)，
由椭圆定义得2a＝