人教高中数学第35讲 数列的求和（解析版）.docx

第35讲 数列求和
【基础知识全通关】
1．等差数列的前n项和
首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．
令，，可得，则
当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；
当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．
2．用前n项和公式法判定等差数列
等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列．
3．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：
（1）通项公式的推广：，．
（2）若，则．
特别地，①若，则；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即

（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
（4）数列是常数是公差为td的等差数列．
（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．
（6）若，则．
4．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4）若数列共有项，则，．
（5），．
5.等比数列的前n项和公式
首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为
（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．
（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
6、等比数列及其前n项和的性质
若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）数列仍是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
（4）成等比数列，公比为．
（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．
（6）当时，；当时，．
（7）．
（8）若项数为，则，若项数为，则．
（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．
【考点研****一点通】
考点一 求解等差数列的通项及前n项和
1.已知数列中，，当时，，求数列的通项公式．
【解析】当时，，即，
两边同时取倒数，得，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
故．
【变式1-1】已知为等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
依题意得，解得，
则.
故数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
，
故数列的前n项和.
考点二 数列的前n项和的求解
2.已知数列的前项和为.
（1）请问数列是否为等差数列？如果是，请证明；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）由可得，
两式相减可得
于是由可知数列为等差数列.
（2）记数列的前项和为，

.
故数列的前项和为.
【变式2-1】设数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【解析】（1）设，且数列的前项和为，则有.
当时，；
当时，.
从而，即，解得.
（2）设数列的前项和为，当时，，所以有
当时，；
当时，
.
综上，.
考点三 求解等比数列的通项及前n项和
3.若等比数列的前项和为,且5，则等于
A．5 B．16
C．17 D．25
【答案】C
【解析】当公比时，故公比不为1，
当公比时，∴，∴，故选C.
【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n项和，注意对公比的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比进行分类讨论，利用前n项和公式及条件，求出，从而得到结果.
【变式3-1】已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵a2＝6，a3＋a4