人教高中数学第二课时 简单的三角恒等变换.doc

第二课时　简单的三角恒等变换
　考点一　三角函数式的化简
1.＝(　　)
A.－ B.1 C. D.2
答案　C
解析　原式＝＝
＝＝.
2.化简：＝________.
答案　cos 2x
解析　原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
3.(tan 10°－)·＝________.
答案　－2
解析　原式＝·＝＝－2.
4.化简：(－tan )·＝________.
答案　
解析　(－tan )·(1＋tan α·tan )
＝(－)·(1＋·)
＝·
＝·＝.
感悟提升　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
　考点二　三角函数求值问题
角度1　给角求值
例1 (1)计算＝________.
答案　－1
解析　＝
＝－＝－＝－1.
(2)(2021·盐城二模)＝________.
答案　－4
解析　原式＝
＝
＝＝
＝＝－4.
(3)(多选)下列各式中值为的是(　　)
A.1－2cos275°
B.sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°
C.tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°
D.
答案　BD
解析　对于A，1－2cos2 75°＝－cos 150°＝cos 30°＝，A错误；
对于B，sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°＝sin 45°sin 75°－cos 45°cos 75°＝－cos 120°＝，B正确；
对于C，∵tan 45°＝1＝，∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，∴tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，C错误；
对于D，
＝
＝
＝
＝＝，D正确；故选BD.
角度2　给值求值
例2 (1)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.
答案　
解析　由题意可得
cos2＝＝，
cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.
因为cos＝＞0，θ∈，
所以0＜θ＜，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，
可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.
(2)(2021·常州一模)若2sin x＋2cos x＝1，则sin·cos＝________.
答案　
解析　由题意可得4sin＝1，令x＋＝t，则sin t＝，x＝t－，所以原式＝sin(π－t)cos 2t＝sin t(1－2sin2t)＝.
角度3　给值求角
例3 (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.
答案　(1)　(2)－
解析　(1)∵0<β<α<，∴0<α－β<，
sin α＝.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
又0<β<，∴β＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝>0，
又α∈(0，π)，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
感悟提升　1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
训练1 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
答案　－
解析　cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－＝－
＝－＝－.
(2)若