人教高中数学第二十六讲圆锥曲线解析版.docx

第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线
【考点梳理】
求曲线的轨迹方程
直接法、定义法、相关点法
椭圆方程
椭圆相关计算
（1）椭圆标准方程中的三个量的几何意义　
（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 焦点弦：椭圆过焦点的弦。
最短的焦点弦为通经，最长为。
（3）最大角:是椭圆上一点，当是椭圆的短轴端点时，为最大角。
（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导）
双曲线
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
抛物线
（1）、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
（2）、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
（3）、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
（4）、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
（5）、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【典型题型讲解】
考点一：椭圆
【典例例题】
例1．（2022·广东清远·高三期末）若椭圆的焦距为6，则实数（    ）
A．13 B．40 C．5 D．
【答案】．A
【详解】解：因为椭圆的焦距为6，
可知，则，所以，
所以，解得：.
故选：A.
例2．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为，F为右焦点．
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线时，求F在l上的射影H的轨迹方程．
【答案】21．(1)，离心率为(2)
（1）
由题意可得：，，，
可得，，，
所以椭圆C的方程为，
离心率为．
（2）
当直线斜率存在时，可设代入椭圆方程，
得：．
设，，则．
因为直线，垂直，斜率之积为，所以，
所以．
将代入，整理化简得：，
所以或．
由直线，当时，直线l经过，与B点重合，舍去，
当时，直线l经过定点，
当直线斜率不存在时，可设，则，，
因为，所以，解得，舍去．
综上所述，直线l经过定点，
而F在l上的射影H的轨迹为以为直径的圆，
其，，所以圆心，半径，
所以圆的方程为，即为点H的轨迹方程．
【方法技巧与总结】
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长，短轴长
离心率
（注：离心率越小越圆，越大越扁）
【变式训练】
1．（2022·广东佛山·高三期末）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则（    ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得
C．直线的斜率为 D．平分
【答案】ACD
【详解】令椭圆半焦距为c，则，由得，，椭圆，
，而，则点，
对于A，椭圆C的离心率，A正确；
对于B，设，即有，
，
即为锐角，B不正确；
对于C，直线的斜率，C正确；
对于D，直线的方程为，点Q到直线的距离，
即点Q到直线与的距离相等，则平分，D正确.
故选：ACD
2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________.
【答案】
【详解】
设过的两条直线与圆分别切于点，