人教高中数学第二十三讲计数原理解析版.docx

第二十三讲：计数原理
【考点梳理】
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从个不同元素中取出（）个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
排列问题的解题策略
特殊元素优先安排的策略； （2）合理分类与准确分步的策略；
正难则反、等价转化的策略；（4）相邻问题捆绑处理的策略；
不相邻问题插空处理的策略；（6）定序问题除法处理的策略；
3.二项式定理
．
4.二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．
二项式系数的性质
（1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）二项式系数的和
【典型题型讲解】
考点一：排列、组合
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【解析】先选个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可.
【详解】由题意，先选个女生捆绑看做一个整体：，然后将男生全排列再将女生插空：，
所以不同的排法有种.
故选：B.
例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种.
【答案】．9
【详解】第一类：语文安排在第二节,
若数学安排在第一节,则英语安排在第四节,体育安排在第三节;
若数学安排在第三节，则英语安排在第四节,体育安排在第一节;
若数学安排在第四节,则英语安排在第一节,体育安排在第三节;
第二类：语文安排在第三节，
若英语安排在第一节,则数学安排在第四节,体育安排在第二节;
若英语安排在第二节，则数学安排在第四节，体育安排在第一节;
若英语安排在第四节,则数学安排在第一节,体育安排在第二节;
第三类：语文安排在第四节，
若体育安排在第一节,则英语安排在第二节,数学安排在第三节;
若体育安排在第二节，则英语安排在第一节，数学安排在第三节;
若体育安排在第三节，则英语安排在第二节，数学安排在第一节;
所以共有9种方案.
故答案为：9.
【方法技巧与总结】
排列、组合搞清楚区别
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有_______种．
【答案】540
【详解】第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有种不同的分法；第二步，将三个小组分配到3所学校，有种不同的分法．故不同的分配方法共有种．
故答案为：540
2．（2022·广东惠州·一模）现有名学生报名参加校园文化活动的个项目，每人须报项且只报项，则恰有名学生报同一项目的报名方法有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【详解】根据题意首先从名学生中选名选报同一项目作为一个整体，
然后从个项目中选择个项目排列即可，故不同的报名方法种数为.
故选：B.
3．（2022·广东湛江·一模）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ）
A．18种 B．12种 C．72种 D．36种
【答案】．D
【详解】解：4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲､乙､丙三地，
共有种方案，所以共有36种选派方案.
故选：D.
4．（2022·广东韶关·一模）在一次学校组织的研究性学****成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ）
A．100 B．120 C．300 D．600
【答案】．A
【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，
如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.
故选：A.
5．（2022·广东茂名·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学****服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学****每位研究生只参与一个方向的学****其中小明同学因录取分数最高主动选择学****人脸识别，其余5名研究