人教高中数学第六节 抛物线 教案.doc

第六节　抛物线
核心素养立意下的命题导向
1.结合抛物线的定义，考查求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象的核心素养．
2．结合抛物线的几何性质及几何图形，求其相关性质及性质的应用能力，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中
P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
3．抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：
S△AOB＝＝|AB||d|＝|OF|·|y1－y2|；
(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(抛物线的标准方程)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A．y2＝±2x　　　　　　　 B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析：选D　由已知知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.
2．(抛物线的定义)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A. B．
C. D．0
解析：选B　M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.
3．(抛物线的性质)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：选D　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)．
由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.
二、易错点练清
1．(忽视抛物线的标准形式)抛物线y＝－2x2的准线方程是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．y＝ D．y＝
解析：选D　抛物线方程为x2＝－y，所以p＝，准线方程为y＝.
2．(忽视抛物线的开口方向)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x或x2＝y B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y
解析：选A　设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.故选A.
3．(忽视焦点的位置)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为______________．
解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
答案：y2＝16x或x2＝－8y
考点一　抛物线的定义及应用
[典例]　(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．6 D．9
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为________，此时点P的坐标为________．
[解析]　(1)根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C.
(2)将x＝3代入抛物线方程
y2＝