人教高中数学第六节 三角函数图象与性质的综合问题 教案.doc

第六节　三角函数图象与性质的综合问题
三角函数的图象与性质是每年高考命题的热点，除考查基本问题外，还常涉及求参数范围问题，多为压轴小题；在综合问题中，常考查三角函数图象的变换和性质、三角恒等变换、零点、不等式等的交汇创新问题．
题型一　三角函数图象与性质中的参数范围问题
策
略
一
针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象的单调性、对称性、周期性等问题．一般来说：
(1)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋(k∈Z)
(2)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)
(3)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)
策
略
二
研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决
　　[典例]　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11　　　　　　　　　 B．9
C．7 D．5
[解题观摩]
法一：排除法
由f＝0得，－ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋ω.
当ω＝5时，k只能取－1，φ＝，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，5x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f
(x)在上单调，符合题意．
当ω＝7时，k只能取－2，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，7x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．
当ω＝9时，k只能取－2，φ＝，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，9x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．
当ω＝11时，k只能取－3，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，11x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．
综上，ω的最大值为9.故选B.
法二：特殊值法
从T＝，ω＝2k＋1(k∈N)来思考，ω需要最大值，只有从选项中的最大数开始，即从前往后一一验证：当ω＝11时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出<<，不合题意；当ω＝9时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出⊆，符合题意．故选B.
法三：综合法
由题意得且|φ|≤，则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝ －.对比选项，将选项值分别代入验证：若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，
f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；若
ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减．
[答案]　B
[归纳总结]
(1)本题条件较多，事实上从题型特征的角度来看，若选择题的已知条件越多，那么意味着可用来排除选项的依据就越多，所谓正面求解也是在不断缩小的范围内与条件进行对比验证．
(2)上述法一和法二的本质是一样的，都是针对选择题的做法，逐一验证，目标明确，不同的是验证的角度．法二直接利用y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的单调区间的特征，每个区间长度为，从靠近区间的特殊极值点开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要“所求区间包含在单调区间内”即可．　　
[针对训练]
1．若函数f(x)＝2sin在区间和上都是单调递增函数，则实数x0的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，在原点附近的递增区间为[－，]，，因此解得≤x0≤.
2．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若对于任意的x∈，都有m2－3m≤f(x)，则实数m的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　　 B．[1,2]
C. D．
解析：选B　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，∴Asin φ－＝1，即Asin φ＝.∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ