人教高中数学第三课时 构造函数证明不等式.doc

第三课时　构造函数证明不等式
　题型一　移项构造函数证明不等式
例1 已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a＞ln ，且x＞0时，＞x＋－3a.
(1)解　由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R，
知f′(x)＝ex－3，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 3，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 3)
ln 3
(ln 3，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 3)，单调递增区间是(ln 3，＋∞)，
f(x)在x＝ln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋3a＝3(1－ln 3＋a)，无极大值.
(2)证明　待证不等式等价于ex＞x2－3ax＋1，
设g(x)＝ex－x2＋3ax－1，x＞0，
于是g′(x)＝ex－3x＋3a，x＞0.
由(1)及a＞ln ＝ln 3－1知
g′(x)的最小值为g′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)＞0.
于是对任意x＞0，都有g′(x)＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)内单调递增.
于是当a＞ln ＝ln 3－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0).
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.
即ex＞x2－3ax＋1，故＞x＋－3a.
感悟提升　待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.
训练1 证明：当x>1时，x2＋ln x<x3.
证明　设g(x)＝x3－x2－ln x，
则g′(x)＝2x2－x－，
因为当x＞1时，
g′(x)＝＞0，
所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以当x>1时，g(x)＞g(1)＝＞0，
所以当x＞1时，x2＋ln x＜x3.
　题型二　分拆函数法证明不等式
例2 证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞－成立.
证明　问题等价于证明xln x＞－(x∈(0，＋∞)).
设f(x)＝xln x，f′(x)＝1＋ln x，易知x＝为f(x)的唯一极小值点，
则f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到.
设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，由m′(x)＜0，得x＞1时，m(x)单调递减；
由m′(x)＞0得0＜x＜1时，m(x)单调递增，易知m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到
.从而对一切x∈(0，＋∞)，xln x≥－≥－，两个等号不同时取到，所以对一切x∈(0，＋∞)都有ln x＞－成立.
感悟提升　1.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.
2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、商形式.便于求导后找到极值点.
训练2 (2022·百校大联考)已知函数f(x)＝eln x－ax(x∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
(1)解　f′(x)＝－a(x>0)，
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0；
当x>时，f′(x)<0，∴f(x)在上单调递增，在上单调递减.
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明　法一　∵x>0，∴只需证f(x)≤－2e，
当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝－e.
记g(x)＝－2e(x>0)，
则g′(x)＝，
∴当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(0，1)上单调递减；
在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝－e.
综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.
法二　由题意知，即证exln x－ex2－ex＋2ex≤0，
从而等价于ln x－x＋2≤.
设函数g(x)＝ln x－x＋2，
则g′(x)＝－1.
∴当x∈(0，1)时，g′(x)>0