人教高中数学第三章 圆锥曲线的方程知识总结（思维导图+知识记诵+能力培养）（含解析）.docx

第三章 圆锥曲线的方程单元总结

要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质
1．椭圆：
（1）椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
要点诠释：
①上方程中的大小，其中；
②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；
②对称性： 椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点： ，，，是椭圆的四个顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.
要点诠释：
①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；
②当时，表示两条射线；
③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
（2）双曲线的性质
①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。
②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线： 渐近线方程：.
这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
方程叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
轴
轴
轴
轴
顶点
离心率
要点诠释：
（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；
（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。
要点二：直线和圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。
1．直线与圆锥曲线C的位置关系
判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。
①当a≠0时，
若Δ＞0，则与C相交；
若Δ=0，则与C相切；
若Δ＜0，则有与C相离。
②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点
若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；
若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。
2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设，，则
弦长公式：
当时, 弦长公式还可以写成：
要点诠释：
（1）当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时