人教高中数学第十九直线、平面平行的判定与性质 解析版.docx

第十九讲：直线、平面平行的判定与性质
【考点梳理】
1、直线、平面平行判定定理与性质定理
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判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面
a⊄α，b⊂α，
a∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α，a⊂β，
α∩β＝b⇒a∥b
2. 平面与平面平行判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
a⊂α，b⊂α，
a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β
性质定理1
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
性质定理2
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
【典型题型讲解】
考点一：线面平行的判定及性质
【典例例题】
例1．（2022·广东佛山·高三期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，E是的中点.
在线段上找一点M，使得直线平面，并说明理由；
【解析】当点M为线段的中点时，直线平面，理由如下：
如图所示：
分别取PB，PC的中点M，F，连接EM，DF，FM，
因为四边形，E是的中点，
所以，，
所以，
所以四边形DEMF是平行四边形，
所以，又平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD；
例2.如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形．是棱上的点， ，过的平面与直线垂直，且平面平面．
在图中画出，写出画法并说明理由；
【解析】如图，在内过作，交于，则直线即为直线．
理由如下：取的中点，连结，，
因为和均为等边三角形，
所以，，所以，，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，所以直线即为直线．
【方法技巧与总结】
（1）可以拿一把直尺放在这条直线位置（与平齐），
（2）然后把直尺平行往平行平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，画出这条直线，
寻找是中位线或者平行四边形证明线线平行.
【变式训练】
1．（2022·广东·金山中学高三期末）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且
为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．
证明：平面；
【解析】【详解】（1）设的中点为，连接，
为的中点，所以为的中位线，
则可得，且；
在梯形中，，且，
，
所以四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
2．（2022·广东揭阳·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面为棱上的点，且.
求证：平面；
【解析】设点为的一个三等分点，且，连接，如图所示.
，且
又，且，从而可得，且.
综上可知四边形是平行四边形.
平面平面，
平面
3．（2022·广东潮州·高三期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，，，点E，F分别为CD，AP的中点．
(1)证明:PC//平面BEF；
【解析】证明：连接，交于，连接，
点为的中点，，
，，，
，，即点为的中点，
又为的中点，，
面，面，
面．
4.如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．
证明；平面；
【解析】连接，C为圆O的直径AB所对弧的中点，
所以△为等腰直角三角形，即，
又在圆上，故△为等腰直角三角形，
所以且，又是母线且，则，
故且，则为平行四边形，
所以，而面，面，
故平面．
5．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台中，，，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点．
求证：平面；
【解析】在四棱台中，四边形为平行四边形，且，点E为棱BC的中点，连，如图，
则有，，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
6.在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点．
证明：平面；
【解析】证明：取EC的中点G，连接NG，BG，
因为点分别为线段的中点．
所以，
又，
所以，
所以四边形MBGN是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
7.如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）．求证：；
【解析】证明