人教高中数学第十七讲数列求和解析版.docx

第十七讲：数列求和
【考点梳理】
公式法：等差、等比数列直接用求和公式求解.
2.分组求和：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
3.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
4.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
【典型题型讲解】
考点一：公式法
【典例例题】
例1.已知等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【解析】解：（1）设数列的公差为，由题意得
解得，，
的通项公式为．
（2）由得
，
是首项为，公比的等比数列．
．
【方法技巧与总结】
根据数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．
【变式训练】
1.已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【解析】(1)设等差数列的公差为，
与的等差中项为，，解得：；
，，
；
(2)由（1）得：，即，
.
考点二：分组求和
【典例例题】
例1．（2022·广东惠州·二模）已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和
【答案】．(1)；(2)．
(1)设的公比为（），
因为，且，，成等差数列，
所以，即，解得，
所以；
(2)由（1），
．
【方法技巧与总结】
根据数列的通项公式，重新分组找可求和数列
【变式训练】
1．（2022·广东韶关·二模）已知数列前项和为，
(1)证明：
(2)设 求数列的前项和．
【答案】．(1)证明见解析(2)
（1）解：由题可知，
当时，解得，所以
又因为，
将其与两式相减得：，
因为，有.
当时，上式也成立，
综上，.
（2）解：当n为大于1的奇数时，
有，，，…，
累加得
又满足上式，所以n为奇数时；
当n为大于2的偶数时，有，，，…，
累加得，满足上式，又，
综上可知
.
2．（2022·广东·二模）已知递增等比数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列满足，求数列的前15项和．
【答案】(1) (2)92
（1）设的公比为q，则由，得．整理得．又，得．联立得，消去，得．解得或．又因为为递增等比数列，所以，．所以．
（2）（方法一）当时，，则，，同理，列举得，，，，，，，．记的前n项和为，则．所以数列的前15项和为92．（方法二）由，得，记的前n项和为，则．所以数列的前15项和为92．
3.已知数列中，，，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前14项和.
【解析】(1)当时，，又，得，
由①
得②，①②两式相除可得，
则，且，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故.
(2)当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
.
所以数列的前14项和为
.
考点三：裂项相消求和
【典例例题】
例1.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】(1)∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)
∴
例2．记为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．
从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.
【解析】(1)①，
当时，，；当时，②
①-②得，即
又，
∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，．
．
(2)若选择①：，
．
若选择②，则③，④，
③-④得，
．
【方法技巧与总结】
1.等差型
（1） （2）
（3）（4）
2.指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【变式训练】
1.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】(1)等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，
设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，
所以.
(2)由（1）知，，
所以.
2.记是