人教高中数学第十三讲三角函数图象及性质解析版.docx

第十三讲：三角函数图象及性质
【考点梳理】
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2、的图象与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值（）.
对于，
（4）对称轴与对称中心.（）
对于，
（5）单调性.（）
对于，
（6）平移与伸缩
由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩　　　　　　 (2)先伸缩后平移
【典型题型讲解】
考点一：三角函数的性质
【典例例题】
例1．（多选）（2022·广东汕头·高三期末）对于函数，x∈R，则（    ）
A．f(x)的最大值为1 B．直线为其对称轴
C．f(x)在上单调递增 D．点为其对称中心
【答案】BD
【详解】依题意，，的最大值为，A错误；
当时，，则直线为图象的对称轴，B正确；
当，即时，由得，即在上单调递增，
由得，即在上单调递减，C错误；
因，则点为其对称中心，D正确．
故选：BD
例2．（2022·广东珠海·高三期末）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
B．的图象关于直线对称
C．的表达式可以改写为
D．若函数在的值域为，则m的取值范围是
【答案】BD
【详解】对于A，由函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，所以A选项错误；
对于B，当时，，所以B选项正确；
对于C，，所以C选项错误；
对于D，由得，又函数在的值域为，得，解得，所以D选项正确．
故选：BD
【方法技巧与总结】
研究三角函数的性质，关键式将函数化为与
的形式利用正余弦函数与复合函数的性质求解.
【变式训练】
1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，则该函数的增区间为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，
解得，
所以函数的增区间是.
故选：C.
2.（2022·广东茂名·一模）函数在区间上的最大值为______
【答案】3
【详解】由题意，,而，则
，所以函数的最大值为.
故答案为：3.
3.已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】B
【详解】
因为
，
所以，
所以，所以为偶函数，故A错误，B正确；
又，所以函数为非奇非偶函数函数，故C、D错误.
故选：B.
4.设函数，若时，的最小值为，则（       ）
A．函数的周期为
B．将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．函数在区间上的零点个数共有6个
【答案】D
【详解】
由题意，得，所以，则，所以选项A不正确；
对于选项B：将函数的图象向左平移个单位，得到的函数是
为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时，则，所以的值域为，选项C不正确；
对于选项D：令，所以当时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D.
5．设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】
由的最小正周期大于，得，
又，，得，
，则，即,
，
由，得,
，,
取，得,
，,
故选：．
6.若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（       ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【详解】
，
所以，
因为的最小值为函数的最小正周期的，
所以，函数的最小正周期为，
因此，.
故选：A
7.（2022·广东湛江·一模）已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为___________.
【答案】
【详解】由题意知，,，，则,，，
其中，,
当时，，，；当时，，，.
又在区间上有且只有一个极大值点，所以，
得，即，所以.
当时，，，此时，此时有2个极大值点，舍去；
当时，，，此时，此时有1个极大值点，成立，
所以的最大值为，
故答案为：
8．（2021·广东佛山·一模）已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：
(1)化简的表达式并求的单调递增区间；
(2)已知，求的值.
【答案】
(1)，单调递增区间为， (2)
(1)
解：若选择条件①；
，
由，
得，
所以的单调递增区