人教高中数学第十五讲平面向量解析版.docx

第十五讲：平面向量
【考点梳理】
平面向量的两个定理
（1）向量共线定理：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）平面向量基本定理：如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
2.平面向量的坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
3.平面向量线性运算的常用结论
（1）已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s,t，使得,且.
（2）在中，AD是BC边上的中线，则
【典型题型讲解】
考点一：平面向量的线性运算和数量积运算
【典例例题】
例1．（2022·广东珠海·高三期末）在中，，，，为边上的高；O为上靠近点A的三等分点，且，其中，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在中，，所以，所以
，
所以，，
故选：C．
例2．（2022·广东中山·高三期末）已知向量，的夹角为60°，，，则（    ）
A．2 B． C． D．12
【答案】C
【详解】，
所以.
故选：C.
【方法技巧与总结】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三点共线定理： A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点.
【变式训练】
1．（2022·广东潮州·高三期末）在的等腰直角中，为的中点，为的中点，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以为原点建立直角坐标系，
设，，则，，
则，，
所以，所以.
故选：A
2．（2022·广东汕尾·高三期末）对于非零向量，“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】对于非零向量，，可得，所以，充分性成立，
但，此时的方向不定，不能推出，必要性不成立，
故选：A．
3．（2022·广东清远·高三期末）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（    ）
A．16 B．12 C．5 D．4
【答案】C
【详解】如图，延长到D，使得．
因为，所以点P在直线上．
取线段的中点O，连接，
则．
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为．
故选：C.
4．（多选）（2022·广东深圳·高三期末）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】通过向量加法的平行四边形法则可知，，选项A正确；
，选项B错误；
与方向不同，选项C错误；
延长到,使,通过向量减法的三角形法则可知,在中，，，选项D正确.
故选：AD.
5．（多选）（2021·广东汕头·高三期末）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（    ）
A．在方向上的投影为0 B．
C． D．
【答案】AB
【详解】平行四边形中，，
所以，
所以，为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，所以A正确；
，，．所以B正确；
，所以C不正确；
因为，所以，所以D不正确.
故选：AB
6.（2022·广东·金山中学高三期末）已知向量与的夹角是，且，，若，则实数_______．
【答案】
【详解】试题分析：由题意 ，可得 ，
即 ，解得
考点：本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积的运算
点评：解决本题的关键是掌握向量垂直的充要条件
7.（2022·广东汕尾·高三期末）已知非零向量，且，则与的夹角为______．
【答案】
【详解】非零向量，且，，
，所以，
又，所以，即与的夹角为.
故答案为：.
8．（2022·广东广州·一模）已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
如图示，以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系.
因为菱形ABCD的边长为2，，则,,,.
因为点P在BC边上（包括端点），所以,其中.
所以,,
所以.