人教高中数学第十一讲三角函数概念和诱导公式解析版.docx

第十一讲：三角函数概念和诱导公式
【考点梳理】
1．任意角和弧度制、三角函数的概念
(1)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是或．
（2）弧长与扇形面积公式
扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
（3）任意角的三角函数
借助单位圆定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
借助终边上点的坐标：，若取点是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数在各个象限符号记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．同角三角函数的基本关系及诱导公式
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
（3）三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【方法技巧与总结】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．

【典型题型讲解】
考点一：弧长公式，扇形面积公式
【典例例题】
例1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
【详解】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积

所以莱洛三角形的面积是.
故答案为：
【方法技巧与总结】
熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2（弧度制）
【变式训练】
1.炎炎夏日，在古代人们乘凉时****惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD
的长度为___________.
【答案】
【详解】
解：设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积.
由题意得，所以.
所以纸叠扇的周长，
当且仅当即，时，等号成立，
所以.又，
所以，
所以，
故.
故答案为：
2.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，
由题意可得，，，，
所以，
因为剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，
所以，则，
所以.
故选：D.
考点二：三角函数及相关概念：
【典例例题】
例1.已知角的终边上有一点，则的值是（       ）
A． B． C．或 D．不确定
【答案】B
【详解】
角的终边上点，则，
于是得，
所以.
故选：B
【方法技巧与总结】
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义
【变式训练】
1.已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，∴，故
故选：B
2.在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题主要考查三角函数线的知识.由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
对于A选项：当点在上时，，，故A选项错误；
对于B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；
对于C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；
对于D选项：当点在上且在第三象限时，，故D选项错误.
综上，故选C.
3.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
【答案】A
【解析】　∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2<a≤3.故选A.
考点三：同角三角函数的基本关系：
【典例例题】
例1.